线性神经网络LNN

线性回归

回归（regression）是能为一个或多个自变量与因变量之间关系建模的一类方法。

当我们想预测一个数值时，就会涉及到回归问题。 | 但不是所有的预测都是回归问题。

线性回归的基本元素

训练集的每行数据（比如一次房屋交易相对应的数据）称为样本（sample）， 也可以称为数据点（data point）或数据样本（data instance）。

我们把试图预测的目标（比如预测房屋价格）称为标签（label）或目标（target）。 预测所依据的自变量（面积和房龄）称为特征（feature）或协变量（covariate）。

线性模型

仿射变换：$$\mathrm{price} = w_{\mathrm{area}} \cdot \mathrm{area} + w_{\mathrm{age}} \cdot \mathrm{age} + b.$$

• 仿射变换的特点是通过加权和对特征进行线性变换（linear transformation）， 并通过偏置项来进行平移（translation）。

当我们的输入包含$d$个特征时，我们将预测结果$\hat{y}$（通常使用“尖角”符号表示$y$的估计值）表示为：

$$\hat{y} = w_1 x_1 + ... + w_d x_d + b.$$

进一步简化为：

$$\hat{y} = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b.$$

其中，$\mathbf{X}$的每一行是一个样本，每一列是一种特征。

在开始寻找最好的模型参数（model parameters）$\mathbf{w}$和$b$之前，我们还需要两个东西：（1）一种模型质量的度量方式；（2）一种能够更新模型以提高模型预测质量的方法。

损失函数（loss function）

回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。

当样本$i$的预测值为$\hat{y}^{(i)}$，其相应的真实标签为$y^{(i)}$时，平方误差可以定义为以下公式：

$$l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \frac{1}{2} \left(\hat{y}^{(i)} - y^{(i)}\right)^2.$$

用线性模型拟合数据图示：

由于平方误差函数中的二次方项，估计值$\hat{y}^{(i)}$和观测值$y^{(i)}$之间较大的差异将导致更大的损失。

为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集$n$个样本上的损失均值（也等价于求和）。

$$L(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n l^{(i)}(\mathbf{w}, b) =\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right)^2.$$

在训练模型时，我们希望寻找一组参数（$\mathbf{w}^*, b^*$），这组参数能最小化在所有训练样本上的总损失。如下式：

$$\mathbf{w}^*, b^* = \operatorname*{argmin}_{\mathbf{w}, b}\ L(\mathbf{w}, b).$$

线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来， 这类解叫作解析解（analytical solution）

随机梯度下降

随机梯度下降：在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

梯度下降的用法

梯度下降最简单的用法是计算损失函数（数据集中所有样本的损失均值） 关于模型参数的导数（在这里也可以称为梯度）。 但实际中的执行可能会非常慢：因为在每一次更新参数之前，我们必须遍历整个数据集。 因此，我们通常会在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做*小批量随机梯度下降*（minibatch stochastic gradient descent）。

用下面的数学公式来表示这一更新过程（$\partial$表示偏导数）：

$$(\mathbf{w},b) \leftarrow (\mathbf{w},b) - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{(\mathbf{w},b)} l^{(i)}(\mathbf{w},b).$$

总结一下，算法的步骤如下：（1）初始化模型参数的值，如随机初始化；（2）从数据集中随机抽取小批量样本且在负梯度的方向上更新参数，并不断迭代这一步骤。

对于平方损失和仿射变换，我们可以明确地写成如下形式:

$$\begin{aligned} \mathbf{w} &\leftarrow \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_{\mathbf{w}} l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = \mathbf{w} - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \mathbf{x}^{(i)} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right),\\ b &\leftarrow b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \partial_b l^{(i)}(\mathbf{w}, b) = b - \frac{\eta}{|\mathcal{B}|} \sum_{i \in \mathcal{B}} \left(\mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} + b - y^{(i)}\right). \end{aligned}$$

以上公式中的$\mathbf{w}$和$\mathbf{x}$都是向量。

在这里，更优雅的向量表示法比系数表示法（如$w_1, w_2, \ldots, w_d$）更具可读性。

• $|\mathcal{B}|$表示每个小批量中的样本数，这也称为批量大小（batch size）。

• $\eta$表示学习率（learning rate）。

• 批量大小和学习率的值通常是手动预先指定，而不是通过模型训练得到的。

这些可以调整但不在训练过程中更新的参数称为超参数（hyperparameter）。

调参（hyperparameter tuning）是选择超参数的过程。

超参数通常是我们根据训练迭代结果来调整的，而训练迭代结果是在独立的验证数据集（validation dataset）上评估得到的。

在训练了预先确定的若干迭代次数后（或者直到满足某些其他停止条件后），我们记录下模型参数的估计值，表示为$\hat{\mathbf{w}}, \hat{b}$。

泛化：找到一组参数，这组参数能够在我们从未见过的数据上实现较低的损失， 这一挑战被称为泛化（generalization）。

数据矢量化

在训练我们的模型时，我们经常希望能够同时处理整个小批量的样本。 为了实现这一点，需要我们对计算进行矢量化， 从而利用线性代数库，而不是在Python中编写开销高昂的for循环。

正态分布与平方损失

正态分布（normal distribution），也称为高斯分布（Gaussian distribution）。

简单的说，若随机变量$x$具有均值$\mu$和方差$\sigma^2$（标准差$\sigma$），其正态分布概率密度函数如下：

$$p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (x - \mu)^2\right).$$

均方误差损失函数（简称均方损失）可以用于线性回归的一个原因是：我们假设了观测中包含噪声，其中噪声服从正态分布。噪声正态分布如下式:

$$y = \mathbf{w}^\top \mathbf{x} + b + \epsilon,$$

其中，$\epsilon \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$。

因此，我们现在可以写出通过给定的$\mathbf{x}$观测到特定$y$的似然（likelihood）：

$$P(y \mid \mathbf{x}) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{1}{2 \sigma^2} (y - \mathbf{w}^\top \mathbf{x} - b)^2\right).$$

现在，根据极大似然估计法，参数$\mathbf{w}$和$b$的最优值是使整个数据集的似然最大的值：

$$P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \prod_{i=1}^{n} p(y^{(i)}|\mathbf{x}^{(i)}).$$

根据极大似然估计法选择的估计量称为极大似然估计量。虽然使许多指数函数的乘积最大化看起来很困难，但是我们可以在不改变目标的前提下，通过最大化似然对数来简化。

由于历史原因，优化通常是说最小化而不是最大化。我们可以改为最小化负对数似然$-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X)$。

由此可以得到的数学公式是：

$$-\log P(\mathbf y \mid \mathbf X) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2} \log(2 \pi \sigma^2) + \frac{1}{2 \sigma^2} \left(y^{(i)} - \mathbf{w}^\top \mathbf{x}^{(i)} - b\right)^2.$$

• 现在我们只需要假设$\sigma$是某个固定常数就可以忽略第一项，因为第一项不依赖于$\mathbf{w}$和$b$。

• 现在第二项除了常数$\frac{1}{\sigma^2}$外，其余部分和前面介绍的均方误差是一样的。

• 幸运的是，上面式子的解并不依赖于$\sigma$。

因此，在高斯噪声的假设下，最小化均方误差等价于对线性模型的极大似然估计。

从线性回归到深度网络

神经网络图

我们将线性回归模型描述为一个神经网络。 需要注意的是，该图只显示连接模式，即只显示每个输入如何连接到输出，隐去了权重和偏置的值。

因此输入层中的输入数（或称为特征维度，feature dimensionality）为$d$，网络的输出为$o_1$，因此输出层中的输出数是1。

需要注意的是，输入值都是已经给定的，并且只有一个计算神经元。 由于模型重点在发生计算的地方，所以通常我们在计算层数时不考虑输入层。 也就是说，上图中神经网络的层数为1。 我们可以将线性回归模型视为仅由单个人工神经元组成的神经网络，或称为单层神经网络。

全连接层

对于线性回归，每个输入都与每个输出相连， 我们将这种变换（上图中的输出层） 称为全连接层（fully-connected layer）或称为稠密层（dense layer）。

总结

• 机器学习模型中的关键要素是训练数据、损失函数、优化算法，还有模型本身。

• 矢量化使数学表达上更简洁，同时运行的更快。

• 最小化目标函数和执行极大似然估计等价。

• 线性回归模型也是一个简单的神经网络。

Reference

• http://zh.d2l.ai/chapter_linear-networks/index.html